同余最短路通常用于处理这类问题：已知 $a_1,a_2,…,a_n$ ，求 $x_1,x_2,…,x_n$ 使得 $sum=\sum a_ix_i$ 属于某个区间或者在某个区间的最小值。

若这个区间很小，那么可以直接用完全背包解决。

若区间达到 $10^{18}$ 级别，那么就不能用背包，考虑问题转化。

易得 $sum=\sum_{i=2}^{n}a_ix_i+a_1x_1=sum_1+a_1x_1$ ，即把 $a_1$ 单独提出来， 最后的答案可由 $sum_1$ 加上很多个 $a_1$ 得到。因此只需考虑在模 $a_1$ 意义下能得到的最小的数，即 $d[(x+y)%a_i]=d[x]+y$ 。可转化为建边 $add(x,(x+a_i)%a_1,a_i)$ 然后跑最短路。

例1 跳楼机

给出 $h,x,y,z$ ，求 $0-h$ 中有多少数可由多个 $x,y,z$ 组合得到。

同余最短路的模板。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long

int h;
int d[4];
int mod;
int f[1000006];
vector<pair<int,int> > g[1000006];

signed main()
{
    cin>>h>>d[1]>>d[2]>>d[3];
    sort(d+1,d+4);
    mod=d[1];

    for(int i=0;i<mod;i++)
    {
        g[i].push_back({(i+d[2])%mod,d[2]});
        g[i].push_back({(i+d[3])%mod,d[3]});
    }

    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    priority_queue<pair<int,int> > q;
    q.push({0,0});
    f[0]=0;

    while(q.size())
    {
        int u=q.top().second;
        q.pop();
        for(auto i:g[u])
        {
            int v=i.first;
            int w=i.second;
            if(f[v]>f[u]+w)
            {
                f[v]=f[u]+w;
                q.push({-f[v],v});
            }
        }
    }

    int ans=0;
    for(int i=0;i<mod;i++)
    {
        if(f[i]>h)continue;
        ans+=(h-1-f[i])/d[1]+1;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

例2 Small Multiple

找到一个数，使得它各位数字和是最小的且满足是 $k$ 的倍数。

注意到一个数，若乘十，那么数字和不变，若加一，数字和增加一，因此有如下方法：

将小于 $k$ 的每个数，建边 $add(i,(i+1)%k,1),\ add(i,(i*10)%k,0)$ ，然后跑最短路，从 $d[1]$ 开始，最后的答案是 $d[0]+1$ 。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
vector<pair<int,int> > g[100005];
int d[100005];

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        g[i].push_back({(i+1)%n,1});
        g[i].push_back({i*10%n,0});
    }

    memset(d,0x3f,sizeof(d));
    d[1]=0;
    priority_queue<pair<int,int> > q;
    q.push({0,1});

    while(q.size())
    {
        int u=q.top().second;
        q.pop();
        for(auto i:g[u])
        {
            int v=i.first;
            int w=i.second;
            if(d[v]>d[u]+w)
            {
                d[v]=d[u]+w;
                q.push({-d[v],v});
            }
        }
    }
    cout<<d[0]+1;
    return 0;
}